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  • 무한, 집합, 그리고 수에 대해서.
    수학 2018. 7. 22. 04:05

    무한($\infty$)의 성질들을 집합과 수를 통해 간단하게라도 알아보도록 하자.

    M.C. Escher - Möbius Strip II(1963)[from Wallup]


    1. 집합(Set)과 무한(Infinity).

    무한의 성질을 알려면 집합에 대하여 아는 것이 좋다.


    국립국어원에 따르면 집합은

    특정 조건에 맞는 원소들의 모임. 임의의 한 원소가 그 모임에 속하는지를 알 수 있고, 그 모임에 속하는 임의의 두 원소가 다른가 같은가를 구별할 수 있는 명확한 표준이 있는 것을 이른다.

    라고 한다.


    역시 무한은

    수(數), 양(量), 공간, 시간 따위에 제한이나 한계가 없음.

    라고 한다.


    1.1 집합 기본.

    우선 집합의 기본 사항들을 간단히 짚고 넘어가도록 한다.

    1.1.1 집합과 포함관계.

    - 집합의 표현.

    3보다 크고 10보다 작은 짝수 집합 $A$는 $$A=\{4,6,8\}$$라고 나타낼 수 있습니다.
    집합 $A$를 이루는 $4, 6, 8$는 '원소'라고 부릅니다.


    원소의 개수는 $$n(A)=3$$처럼 나타내며,


    원소와 원소가 아닌 것은 다음과

    $$4 \in A, 5 \notin A$$
    같이 표현 할 수 있습니다.


    원소가 없다면 '공집합'이라 하며, $$\emptyset$$로 표현합니다.


    우리가 방금 집합 $A$처럼 원소들을 나열하여 표현한 것을 '원소 나열법'이라 합니다.

    원소 나열법은 직관적이지만, 원소가 많은 집합이나, 집합의 특성을 표현하기에는 힘들다.


    예를 들어 3보다 큰 짝수 집합 $B$를 원소 나열법으로 표현 할 수 있을까?

    $$B=\{4,6,8,10,...\}$$라고 밖에 표현 할 수 없다.

    집합을 정확히 표현하는데 문제가 생긴다.


    그래서 나온 표기 방식은 '조건 표기법'이라 한다.

    $$A=\{x|3<(x=2n)<9, n은 \; 정수\} \\ B=\{x|3<x=2n, n은 \; 정수\}$$

    로 표시 할 수 있다.



    • 집합과 원소를 나타낼 때 관습.

    집합은 보통 $A,B,C$처럼 대문자로 표시하며, 원소는 $a,b,c$처럼 소문자로 표현한다.




    - 부분 집합.

    부분집합[from Wikipedia]


    어떤 집합의 모든 원소가 다른 집합의 원소에 속할 때 '부분 집합'이라 한다.

    집합 $A$는 집합 $B$에 포함되기 때문에 부분 집합이다.

    $$A \subset B$$

    실제로 포함하다의 Contain에서 C를 기호화 한 것 이다.


    만약 집합 $C$를 5이상의 자연수라 하면

    $$4 \notin C$$이므로, $$A \subset C$$가 아니다.


    잠깐 부분 집합의 성질을 알아보자.

    1. 공집합($\emptyset$)은 임의의 집합(모든 집합)의 부분 집합이다. ($\emptyset \subset All$)
      공집합에 속한 원소가 없기 때문.

    2. 임의의 집합은 자기 자신의 부분 집합이다. ($All \subset All$)
      역시 자신이 가지고 있는 원소는 자신과 같기 때문.
      * 임의의 집합이라는 뜻에서 $All$이라 표시했다.

    자기 자신을 제외한 부분 집합을 '진부분 집합'이라 한다.

    $$\subsetneq$$로 표시한다.

    예) A에서는  $\emptyset, \{4\}, \{6\}, \{8\}, \{4,6\}, \{4,8\}, \{6, 8\}$이 진부분 집합이다.


    만약 집합 $A$와 $B$가

    $$ A \subset B, B\subset A 이면, \; A = B$$

    이면 '상등'하다고 하다.

    바로 위에서 설명한 진부분 집합이 부분 집합이되 상등하지 않은 집합을 의미한다.


    임의의 집합 $I$, $J$, $K$가

    $$I \subset J, J \subset K 이면 \; I \subset K$$이다.


    1.1.2 집합의 연산.

    - 합집합과 교집합.

    합집합[from Wikipedia]

    어떤 집합과 다른 집합의 모든 원소를 이용하여 만든 집합을 '합집합'이라 한다.

    $$A \cup C = \{x|(x \in A) \lor (x \in C)\}$$는 A와 C의 모든 원소를 이용하여 만든 집합으로, 4이상의 자연수가 합집합의 결과이다.


    $$\bigcup_{i\in I}A_i=\{x|\exists i\in I\colon x\in A_i\}$$로도 표현한다.

    단, $A_i (i \in I)$에서 $I$는 집합이며 $i \in I$s는 $A_i$를 식별하기 위해 쓰인다.


    교집합[from Wikipedia]

    어떤 집합과 다른 집합의 같은 원소를 이용하여 만든 집합을 '교집합'이라 한다.

    $$A \cap C =\{x|(x \in A) \land (x \in C)\}$$은 {6, 8}이다.

    * $\lor$은 $or$(또는), $\land$는 $and$(그리고)라는 뜻.


    역시 또 다른 표현으론

    $$\bigcap_{i\in I}A_i=\{x|\forall i\in I\colon x\in A_i\}$$가 있다.


    공통된 원소가 하나도 없을 때, 즉 교집합의 결과가 공집합일 때, '서로소'라고 한다.


    - 여집합과 차집합, 대칭자.

    주어진 집합에서 부분 집합을 생각 할 때 '전체 집합'[각주:1]은 보통 Universal의 U를 따

    $U$라고 표현한다.



    여집합[from Wikipedia

    전체 집합 $U$에서 부분 집합 $A$에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 $U$에 대한 $A$의 '여집합'이라 한다.

    $$A^c=\{x|(x \in A) \land (x \notin A)\}$$

    전체 집합을 위에서 정의했던 집합 B로 가정하고, A의 여집합 일 경우 4, 6, 8을 제외한 나머지 집합이다.


    차집합[from Wikipedia]

    어떤 집합에서 다른 집합의 원소에 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이 차집합이다.

    $$A-B=A \cap B^c =\{x|(x \in A) \land (x \notin B)\}$$

    $A \setminus B$라고도 표시한다.


    대칭자[from Wikipedia]

    어떤 집합과 다른 집합에서 둘 다 속하지만, 동시에 둘 다에는 속하지는 않는 원소(하나에만 속함)들로 이루어진 집합을 대칭차라 한다.

    $$ \begin{matrix}A \triangle B&=&\{x|(x \in A \land x \notin B) \lor (x\notin A \land x \in B)\} \\
    &=&(A \cup B) - (A \cap B) \\ &=& (A - B) \cup (B - A) \end{matrix}$$


    - 멱집함(Power Set)과 곱집합.

    Power Set이라고 특별히 영문 혼용 표기를 한 까닭은 한글로 쓰여진 글에서도 멱집합 대신 Power Set이라는 말이 많이 나와서.

    멱집합[from Wikipedia]


    멱집합은 모든 부분집합을 모은 집합이다.


    임의의 집합 S의 멱집합은

    $$\mathcal{P}(S)=\{A\colon A\subseteq S\}$$


    그리고 $\mathcal{P}(S)$대신 $P(S)$, $2^S$처럼도 표기하기도 한다.


    예를 들어 집합 $B=\{1,2,3\}$의 멱집합 $\mathcal{P}(A)$은

    $$\mathcal{P}(B)=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\} \}$$

    이다.


    곱집합[from Wikipedia]


     각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다.

    $A \times B$처럼 표시한다.


    $$\prod_{i\in I}A_i=\{(x_i)_{i\in I}|\forall i\in I\colon x_i\in A_i\}$$로도 표시한다.


    * 튜플(tuple)은 유한 개의 사물의 순서있는 열거이다. 주로 $()$를 사용하여 표시.


    - 드모르간 법칙.

    전체집합 U와 부분 집합 I, J가 있다면, $$(I \cap J)^c = I^c \cup J^c \\ (I \cup J)^c = I^c \cap J^c$$이 성립합니다.


    $$X - \bigcup_{i\in I}A_i=\bigcap_{i\in I}{}(X - A_i)\\ X - \bigcap_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}{}(X - A_i)$$로도 표현.

    1.1.3 집합의 대응.

    어떤 집합과 다른 집합이 주어졌을 때, 어떤 집합의 원소에 대해 다른 집합의 원소가 정해지면 어떤 집합에서 다른 집합으로 '대응'한다고 한다.


    프로야구를 생각하며 여러 대응 관계를 생각해보자.


    - 구단과 선수들의 관계.

    구단 하나에 여러 명의 선수들이 대응되는 관계다.

    일대다 대응이라 표현.


    - 선수와 출전 선수

    구단의 선수와 경기에 출전하는 선수들은 1개씩 대응되는 관계다.

    일의 대응이라 표현.


    - 선수와 등번호.

    구단 선수와 등번호는 정확히 1명당 1개가 대응된다.

    일대일 대응이라 표현.


    일대일 대응은 일의 대응과 달리 '모든' 원소가 짝지어져야 한다.

    두 집합이 일대일 대응이 이루어지는 경우 '대등'하다고 하며 $\sim$를 사용하여 표현합니다.$$구단 선수 \sim 등번호$$


    1.1.4 집합과 함수.

    함수[from Wikipedia]

    함수[각주:2]는 첫 번째 집합의 임의의 한 원소를 두 번째 집합의 오직 한 원소에 대응시키는 대응 관계이다.


    함수에 대해 설명하려면, 정의역, 공역, 치역이란 용어 설명이 필요하다.

    • 정의역(domain)은 그 함수의 값이 정의된 집합이다.
    • 공역(codomain) 또는 공변역은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다.
    • 치역(range 또는 target set)이라고 하는 것은 함수의 모든 "출력"값의 집합이다. 다시 말해, 정의역의 상(像)이다.

    함수[from Wikipedia]

    함수 $f$는 다음과 같은 튜플 $(X,Y,\operatorname{graph}f)$이다.

    • $X$는 집합이며, $f$의 '정의역'이라고 한다.
    • $Y$는 집합이며, $f$의 '공역'이라고 한다.
    • $\operatorname{graph}⁡ f$($f(x)$)는 곱집합 $X \times Y$의 부분집합이며, $f$의 그래프라고 한다.('치역')
    • 단, 임의의 $x \in X$에 대하여, $(x,y)\in \operatorname{graph}⁡f$인 $y \in Y$가 유일하게 존재한다.
      $\operatorname{graph}⁡ f=f(x)=\{f(x):x\in X \} \subset Y$

    다시 말해, 함수는 정의역의 각 원소를 정확히 하나의 공역 원소에 대응시킨다.

    이러한 $y$를 $f(x)$라고 쓰며, 이러한 $y$들의 집합을 '치역'이라고 한다. 치역은 공역의 부분 집합이나, 공역보다 작을 수 있다.


    모두 함수를 나타내는 같은 표현이다.

    $$f \colon X \to Y \\ f \colon x \mapsto y \\ f(x)=y$$


    - 함수와 대응.

    집합의 대응과 비슷하게 함수의 대응이 존재한다.


    단사함수[from Wikipedia]

    정의역의 서로 다른 원소를 항상 공역의 서로 다른 원소로 대응시킨다면, 단사함수나 일대일 함수라 한다.

    일의 대응과 비슷.


    전사함수[from Wikipedia]

    공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소를 대응시킨다면, (즉, 치역이 공역과 같다면) 전사 함수 또는 위로의 함수라고 한다.

    일대다 대응과 비슷하다고 느끼겠지만 전사함수는 '모든' 원소를 대응시켜야 하는 것 뿐이지, 반드시 일대다 대응이 되는 것은 아니다.

    전단사 함수[from Wikipedia]

    동시에 단사 함수이자 전사 함수라면, 전단사 함수 또는 일대일 대응이라고 한다.

    일대일 대응과 비슷.

    1.2 유한집합과 무한집합 .

    집합 A의 원소 개수는 3이었다. 그러나 집합 B, C의 원소 개수를 셀 수 있는가? 

    $B=\{4, 6, 8, 10, 12, 14, ...\}, C=\{5, 6, 7, 8, 9, ...\}$처럼 끝도 없이 이어지므로 셀 수 없다.


    이처럼 원소의 개수에 한계(1억개든, 10조개이든)가 있는 집합을 '유한집합'이라 하고, 한계가 없는 집합을 '무한집합'이라 한다.

    * 유한집합의 원소 개수는 '위수'라고 한다.


    유한집합은 일대일 대응이 될 경우 위수, 즉 집합의 크기가 같다.


    그렇다면 무한집합은 어떨까?

    무한집합도 비슷하다. 일대일 대응이 되는지 확인하고 농도나 기수(Cardinality)라 표현한다.

    만약 무한인 어떤 집합과 다른 집합이 주어졌을 때 일대일 대응이 되는 경우 기수가 같다고 한다.$$|A| \; or \; cardA$$라고 적는다.

    * 무한집합의 기수는 초한기수라고 부름.


    여기서 중요한 사실을 알 수 있다.

    두 집합이 일대일 대응이 될 경우 기수가 같다.

    제한이 없다는 무한집합도 크기를 비교할 수 있게 된 것이다!!


    자연수 집합 $\mathbb{N}$과 자연수인 짝수의 집합 $E$을 비교해보자.(Natural Number와 Even number에서 따옴.)

    $$\begin{matrix} \mathbb{N}| & 1 & 2 & 3 & 4 & … \\ E| & 2 & 4 & 6 & 8 & … \end{matrix}$$

    분명 자연수의 집합의 진부분 집합인 자연수인 짝수 집합이 대등하다는 것을 알 수 있다.

    대등하다는 것은 기수가 같고, 기수가 같다는 건 집합의 크기가 같다는 뜻이다.


    어떻게 일대일 대응이 된다는 말인가?

    갈릴레이 - 새로운 두 과학에 대한 논의 및 수학적 설명[from 네이버 지식백과]


    선분 AB를 자연수 중 짝수, 선분 CD를 자연수라 할 때 그림처럼 이어준다면 두 선분의 점들은 일대일 대응이 된다는 뜻이다.


    아직도 대등하다는 뜻이 이해되지 않는다면 필시 $$\begin{matrix} \mathbb{N}| & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & … \\ E| & x & 2 & x & 4 & x & … \end{matrix}$$ 처럼 대응되지 않았기 때문이다.

    칸토어라는 수학자는 이렇게 돌파한다.


    '최선을 다한 대응'을 찾아라!

    무슨 말인가 하면, 원소끼리 대응을 하는 것은 $$\begin{matrix} \mathbb{N}| & 1 & 2 & 3 & 4 & … \\ E| & x & 2 & x & 4 & … \end{matrix}$$또는 $$\begin{matrix} E| & 2 & 4 & 6 & 8 & … \\ \mathbb{N}| & x & 1 & x & 2 & … \end{matrix}$$처럼 엿장수 마음대로 일 수 있기 때문에 중간에 비는 것이 없이 모두 일대일 대응이 되도록 하라는 것이다.


    방금 예로부터 우리는 유한집합과 무한집합의 차이를 느낄 수 있었고, 정의 해볼 수 있다.

    자신과 대등한 진부분 집합이라면 무한집합이고, 아니라면 유한집합이다.

    또한

    전체와 부분의 기수가 똑같을 수 있으며, 포함 관계와 기수는 다른 개념이다.

    라는 것 또한 알 수 있다.


    포함 관계와 기수가 다른 개념이라는 것은 집합 $A$와 $C$처럼 포함 관계가 아닌 집합끼리 기수 비교를 할 수 있다는 것을 생각하면 좀 더 명확하다.


    2. 수와 기수.

    2.1 자연수.

    2.1.1 자연수와 가산집합.

    힐베르트의 호텔 이야기를 들어본 적 있나요?

    무한개의 방이 있는 호텔에 손님이 다 찼는데 1명이 오면 힐베르트가 기존 손님들에게 지금 있는 방에서 1을 더한 방($n+1$)으로 이동하라고 해서 객실을 확보하고, 무한명의 손님이 온다면 2를 곱한 객실($2n$)로 이동하게 하고 홀수 번의 방에 손님들을 묵게 해준다는 내용 입니다.


    대등하다면 크기가 같다는 성질을 이용한 이야기입니다.


    수학에서 자연수의 기수를 가산 기수 또는 $\aleph_0$(알레프 제로)라고 한다.

    자연수와 대등한 집합은 셀 수 있다는 뜻에서 가산집합이라 한다.


    가산집합의 가장 큰 특징은 무한집합들은 한 개 이상의 가산집합을 포함한다는 것.

    어쩌면 당연하지만, 무한집합도 1개 이상의 원소를 가지고 있다.

    이 말은 1개 정도는 셀 수 있다는 뜻이며, 무한집합은 가산집합을 포함한다고 생각할 수 있다.


    힐베르트의 호텔에서 나온 성질을 $\aleph_0$를 사용하여 나타내면,$$\aleph_0 + 1 = \aleph_0 \\ \aleph_0 \times 2 = \aleph_0$$


    2.1.2 자연수의 공리.

    바로 뒤에서 정수와 비교하기 전에 자연수가 무엇인지에 대해 다루어보자.


    여기선 나무위키에 있는 페아노 공리를 통해 알아봅시다.

    * 공리는 어떤 이론체계에서 가장 기초적인 근거가 되는 명제(命題)이다. 어떤 다른 명제들을 증명하기 위한 전제로 이용되는 가장 기본적인 가정을 가리킨다. 지식이 참된 것이 되기 위해서는 근거가 필요하나 근거를 소급해 보면 더 이상 증명하기가 곤란한 명제에 다다른다. 이것이 바로 공리이다. 참고로 증명이 필요한 명제중 증명이 완료된 명제를 정리라고 한다.


    • $1 \in \mathbb{N}$
      1을 뜻하는 원소를 가진다. [사실 꼭 1이 아니라 1과 '같은 의미'를 가지면 됨.]
    • $x \in \mathbb{N} \to x^+ \in \mathbb{N}$
      자연수인 원소 $x$의 바로 다음 원소 $x^+$는 자연수다.
    • $\forall x \in \mathbb{N} \to x^+ \neq 1$
      자연수인 임의의(모든) 원소 $x$가 있으면 다음 원소 $x^+$는 1이 아니다.($x$가 0이 아님)
    • $x \in \mathbb{N}, y \in \mathbb{N} \; s.t \;x \neq y \to x^+ \neq y^+$
      자연수인 원소 $x$와 $y$는 $x$가 $y$가 다를 때 다음 원소인  $x^+$와 $y^+$도 다르다.
      (s.t.는 such that의 뜻으로 '다음과 같다'란 의미 , 대우 시킴)
      1. $1 \in X$
      2. $x \in X \to x^+ \in X \\ \therefore X=\mathbb{N}$

      $X$가 집합 일 때,
      $1$인 원소를 포함한다.[1]
      또한 원소 $x$가 $X$에 포함되면 다음 원소 $x^+$도 $X$에서도 성립한다.  그러면 집합 $X$는 $\mathbb{N}$(자연수)와 같다.[2]

    어쩌면 당연하게 느끼던 자연수에 대하여 잘 설명하고 있습니다.

    페아노의 공리 중 마지막은 수학적 귀납법을 이용한 것입니다.


    잠깐 수학적 귀납법을 알아보죠.


    - 수학적 귀납법.

    자연수 $n$에 대한 임의의 1항 술어 $P(-)$가 있을 때, $P(n)$이 모든 자연수 n에 대하여 성립한다는 것을 증명하려면 다음 두 조건을 만족시키면 된다.

    • n=1일 때, 명제 P(n)이 성립한다.
    • n=k일 때, 명제 P(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때에도  p(n) 역시 성립한다.

    페아노의 공리와 비슷하죠?


    모든 자연수가 어떤 주어진 성질을 만족시킨다는 명제를 증명하는 방법이기 때문에 자연수의 정의를 이용한 것입니다.


    식으로 나타내면 이렇게 된다.

    $$\forall P(-)((P(0) \land \forall n(P(n) \; \Longrightarrow \; P(n+1))) \; \Longrightarrow  \; \forall nP(n))$$


    2.2 정수.

    정수는 음의 정수(-1, -2, -3, -4, ...), 0, 양의 정수(1, 2, 3, 4, ...)가 합해져서 만들어진 수 입니다.

    독일어 Zahlen에서 따와 보통 $\mathbb{Z}$로 표시합니다.


    양의 정수가 곧 자연수이므로,$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$


    자연수와 정수가 대응이 되나 확인해봅시다.(아래에서는 Integer에서 따와 I로 표시한 듯.)

    자연수와 정수 대응[from Quora]

    억지 같지만, 일정한 규칙(절댓값 순)을 가지고 자연수와 정수가 일대일로 대응하는 것을 볼 수 있다.


    자연수와 정수의 크기는 같았다!!

    양의 정수와 음의 정수의 기수를 더한 것이 자연수의 기수이므로 이렇게 나타낼 수 있다.

    $$\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0$$

    (양의 정수는 자연수, 음의 정수도 $-$를 붙힌 자연수로 취급 할 수 있다.)


    2.3 유리수.

    2.3.1 유리수와의 대응.

    유리수는 두 정수 $m, n(n \ne 0)$의 몫(Quotient)인 ${m \over n}$으로 나타낼 수 있는 수다.

    역시 $\mathbb{Q}로 표시$

    유리수에서 $+$가 붙는 수는 양수, $-$가 붙는 수는 음수라 부른다.


    ${1 \over 1}=1, {2 \over 1}=2, {-3 \over 1}=-3$이므로 유리수는 정수를 포함한다.$$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$


    유리수도 자연수와 대등할까?

    정수에서 양의 정수가 일대일 대응되면, 음의 정수도 일대일 대응이 된다는 것을 보았으므로, 양수에 치중하여 설명해본다.

    두 정수 $m, n$으로 이루어졌다는 것은 수를 데카르트 좌표계(흔히 $x,y$축으로 이루어지는 직교 좌표계)에 배열할 수 있다는 것이다.


    흔히 대각화 증명(Diagonalization Proof)라 부른다.

    데카르트 좌표에 대응[from 네이버 지식백]


    그런데 분수의 특성을 생각해보면 ${1 \over 1}={2 \over 2}={3 \over 3}=1$처럼 중복되는 조합이 생겨나게 된다.

    어떻게 하면 될까?


    그냥 제외하고 넘어가면 된다.


    데카르트 좌표에 대응과 흐름 - 2[from 네이버 지식백, Divisbyzero]

    조금 편하게 보라고 두번째 그림을 삽입했는데 둘의 흐름이 조금 다르게 나와있지만, 원리는 비슷하다.


    역시 음수를 포함 한 유리수 전체와 비교해보자.

    사이트마다 진행 방향이 마음대로라(대응만 되면 되니..) 양수 흐름을 같이 첨부했다.

    자연수와 유리수 대응[from Quora]


    아무튼 지금까지 첨부한 사진들처럼 자연수와 유리수는 대응될 수 있다.


    정수 $m,n$쌍은 $m \times n$로 표현하므로 $$\aleph_0 \times \aleph_0 = \aleph_0$$란 특성을 알 수 있다.


    이제 기수에서 조금 빠져서, 유리수를 통해 무한과 관계를 몇가지 살펴보도록 하죠.


    2.3.2 유리수와 소수.

    유리수의 조밀성과 극한을 설명하기 위해 소수(Decimals, Prime Number가 아니다)를 사용하겠습니다.

    그 전에 소수와의 관계를 알아봅시다.


    유리수는 정수 숫자 2개로 조합한 분수라고 했죠?

    유리수는 분수의 형태이기 때문에 정수 사이를 표현할 수 있습니다.


    분수와 비슷하게 정수 사이를 표현할 수 있는 수는?

    바로 소수 입니다.


    소수는 우리가 사용하는 아라비아 숫자를  위치에 따라 ${1 \over 2}=0.5, {1 \over 10}=0.1, {1 \over 100}=0.01$처럼 나타내는 방식이다.


    위치 기수법에 대해 알고 싶다면

    2017/10/06 - [수학] - 기수법(記數法, Numeral System)

    를 참고하기 바란다.


    여기서 드는 의문은 분수와 소수가 호환이 가능한 가이다.

    분수를 소수로 바꾸면 $$\begin{matrix} {1 \over 1}&=&1, & {1 \over 2}&=&0.5, & {1 \over 3}&=&0.33333..., & {1 \over 4}&=&0.25, \\ {1 \over 5}&=&0.2, & {1 \over 6}&=&0.16666..., & {1 \over 7}&=&0.1428571428... \end{matrix}$$처럼 된다.


    분수는 유한소수 또는 순환소수 중 하나로 표현되는 것을 알 수 있다.

    분수가 나누어 떨어지거나 순환되는 소수로 변환되는 이유는 나누는 수가 $n$일 때 나머지는 $0$부터 $n-1$까지 $n$개만이 가능하고, 같은 나머지가 나오면 그 뒤로의 나눗셈의 과정은 반복되기 때문이다.

    그리고 소인수분해 시 2와 5만을 가지는 수들만 유한소수가 되는 이유는 우리는 10진법을 사용하고 있기 때문입니다.


    순환소수는 점을 찍어 순환이 된다는 것을 표시한다.

    ex) $0.33333...=0.\dot{3}, 0.16666...=0.1\dot{6}, 0.1428571428...=0.\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7}$


    $0.\dot{3}$처럼 첫 자리부터 순환하면 순순환소수, $0.1\dot{6}$처럼 그 이후로 순환이 시작되면 혼순환소수다.


    분수는 소수로 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있었다.

    분수와 반대로 소수도 분수로 나타낼 수 있는지 알아볼 차례다.


    유한소수는 $$0.5={5 \over 10}={1 \over 2}, 0.25={25 \over 100}={1 \over 4}, 0.2={2 \over 10}={1 \over 5}$$와 같이 한 자리당 $10^n$차이라는 것을 이용하여 바꿀 수 있다.


    순환소수는 $$\begin{matrix} x=0.\dot{3}  \\ 10x=3.\dot{3}  \\  10x-x=9x&=&3 \\ x={3 \over 9}={1 \over 3} \end{matrix}$$
    $$\begin{matrix} y=0.1\dot{6} \\ 100y=16.\dot{6} \\ 100y-10y=90y=15 \\ y={15 \over 90}={1 \over 6} \end{matrix}$$


    $$\begin{matrix} z=0.\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7} \\ 1000000z=142857.\dot{1}\dot{4}\dot{2}\dot{8}\dot{5}\dot{7} \\ 1000000z-z=999999z=142857 \\ z={142857 \over 999999}={1 \over 7}\end{matrix}$$

    처럼 처음 순환하는 것 만큼만 남겨두고 나머지 순환 부분을 제거하는 방식을 사용한다.


    그런데 순환하지 않는 무한소수(비순환소수)라면?

    에를 들어 $\sqrt{2}=1.414213...$나 $\pi=3.141592...$와 같다면 유리수가 아닌 무리수입니다.


    유한소수와 순환소수는 유리수고, 비순환소수는 무리수다.


    2.3.3 유리수와 조밀성.

    1과 2사이에 얼마나 어떤 유리수가 존재할까?

    $1.2, 1.9$


    그러면 그 사이는?

    $1.4, 1.5$


    또 그 사이는?

    $1.45, 1.46$


    또또 그 사이는?

    $1.451, 1.456$


    자연수와 정수에서는 1과 2사이의 수를 찾을 수 없었지만, 유리수에서는 무수히 많습니다.


    두 유리수 a와 b(단, a<b) 사이에 다른 유리수가 존재한다는 것을 식으로 설명하면

    $$a,b \in \mathbb{Q}, \; a<b \to a< {a+b \over 2} <b$$

    의 형태.


    이러한 성질을 '조밀성'이라고 한다.

    반대로 $\mathbb{N}$이나 $\mathbb{Z}$처럼 띄엄띄엄 있는 것은 '이산성'이라 한다.


    2.3.4 유리수와 극한.

    한가지 재미있는 현상을 보자.

    $${1 \over 3}=0.33333..=0.\dot{3} \\ {1 \over 3} \times 3 = 0.\dot{3} \times 3 \\ 1 = 0.\dot{9}$$


    ${1 \over 3} \times 3$을 하면 분명 $1$이란 결과가 나와야 할 터인데 $0.\dot{9}$라는 말도 안되는 결과가 나와버렸다.


    0.9999...처럼 9가 무한히 나오기 때문에 $1$과 가까워지지만 $1$이 된다는 것을 이해하기 힘들다.

    이렇게 언제나 크거나 작도록 값을 조정할 수 있고 끝이 없으므로 현실적으로 존재하기 어렵다는 개념이 '가무한'이다.


    그러나 ${1 \over 3} \times 3=1$이 맞지 않은가?

    이 때문에 나온 것이 바로 '극한'이라는 것이다.


    극한을 설명하는 글을 쓰다 너무 길어져서 극한에 관련된 부분은 글을 새로 팔려고 한다.

    2018/07/30 - [수학] - 집합(위상)과 극한에 대하여[일부 내용 펌].


    어쨌든 극한은 무한히 가까이 가는 과정과 그 과정이 구체적으로 나타난 결과인 극한 값이라는 두 개의 의미를 가지고 있는데 $0.\dot{9}$는 무한의 과정이 사실로 나타난 결과로, 실제로 존재하는 극한 값이며 이것은 정확히 '1과 동일한 실체'다. 실무한이라는 뜻.


    2.4 무리수.

    2.4.1 무리수와 실수 기본.

    비순환소수가 무리수에 속한다는 것을 이용하여 아주~ 간단하게 말하면 0을 제외한 정수비(분수)가 아닌 수이다.

    실수는 유리수 $\cup$ 무리수며 Real Number에서 따와 $\mathbb{R}$로 보통 표시한다.


    실수는 수직선의 형태로 표현 할 수 있다.


    수직선[from Wekipedia]


    2.4.2 무리수.

    무리수의 정의하는 방법도 극한 글을 읽고 오면 쉽게 이해할 수 있다.

    (특히 개집합, 폐집합 부분)


    데데킨트는 '데데킨트 절단(Dedekind Cut)'이란 방법을 사용하여 설명한다.


    데데킨트 절단[from twitter @SheenCB]


    유리수를 가위나 칼 같은 도구로 대소 두 집합 A, B가 나오도록 '절단(cut)' 해버린다고 생각하자.

    단, $A \cup B = \mathbb{Q}$와 $A \cap B =\emptyset$이며 $a<b$(각각 A와 B에서 가장 큰 유리수, 가장 작은 유리수)가 이다.


    절단 시 상태는 도구에 $a$와 $b$가 닿느냐 닿지 않느냐로 나눌 수 있다.

    닿느냐 닿지 않느냐는 a와 b를 포함하냐 하지 않느냐와 같은 말로서 개구간, 폐구간으로 이해할 수 있다.

    $$\begin{array}{c|c|c|c} \hline \hline
      절단종류 & a & b & 결과 \\ \hline \hline
      1 & T & T & [a,b] \\ \hline
      2 & T & F & [a,b) \\ \hline
      3 & F & T & (a,b] \\ \hline
      4 & F & F & (a,b) \\ \hline
    \end{array}$$


    절단을 2를 기준으로 했다고 가정하자.


    1번의 경우 최대인 수와 최소인 수가 집합 $A$, $B$에 있다.

    집합 $A$는 $\{..., 0,1,2\}$, 집합 $B$는 $\{3,4,5,...\}$, 또는 $\{...,-1,0,1\}$과 $\{2,3,4,...\}$ 와 같이 이산성을 가질 때 성립한다.

    정수를 나타낸다는 뜻.


    유리수가 해당되는 것이 $\{a | a \leq 2\}$와 $\{b | 2 < b\}$이다.

    $[a,b)$의 형태를 가지는 것을 알 수 있다.

    '조밀성'을 띄기 때문에 $[a,b]$는 될 수 없고, $(a,b]$는 $[a,b)$와 사실상 동치이다.

    즉, 유리수는 도구에 한쪽만 닿는 2번 $[a,b)$와 3번 $(a,b]$ 임을 알 수 있다.


    그럼 무리수는?

    양쪽 다 닿지 않는 4번 $(a,b)$이다.

    아주 대표적인 예로 유리수인 $a,b$를 $a^2<2<b^2$를 만족하는 원소를 찾는 것이다.

    유리수의 조밀성 때처럼 해보자.


    이때 '(단순)연분수'를 사용할 것이다.

    연분수는 다음과 같이 이루어져 있다.

    $$x = a_0 + {1 \over a_1 + {1 \over a_2 + {1 \over a_3 + ...}}}$$

    이를 $[a_0; a_1, a_2, a_3, ...]= \lim_{n \to \infty}[a_0; a_1, a_2, a_3, ..., a_n]$처럼 표현이 가능하다.

    $a_n$때 나오는 근삿값은 $n$번째 convergent라고 말하며 $c_n$로 표현한다.


    $a_n$의 자리엔 정수($a_0$은 정수, 나머지 $a_n$은 양의 정수)를 뽑고, 그 뒤에 남은 진분수는 역수를 취하여 분모로 옮긴 다음 

    유한소수인 ${11 \over 4}$와 순환소수인 ${11 \over 3}$을 예로 들어 연분수를 사용해보자.

    $${11 \over 4}=2+{3 \over 4}=2+{1 \over {4 \over 3}}=2+{1 \over 1+{1 \over 3}}=2+{1 \over 1+{1 \over{3 \over 1}}}=2+{1 \over 1+{1 \over 2+{1 \over 1}}} \\
    {11 \over 3}=3+{2 \over 3}=3+{1 \over {3 \over 2}}=3+{1 \over 1+{1 \over 2}}=3+{1 \over 1+{1 \over {2 \over 1}}}=3+{1 \over 1+{1 \over 1+{1 \over 1}}}$$

    이렇게 연분수는 유리수를 유한 연분수의 형태로 나타낼 수 있으며, 무한 연분수는 무리수다.


    $\sqrt{2}$를 이와 동일하게 계산해보자.

    $$\begin{matrix} \sqrt{2}&=&1+(\sqrt{2}-1)&=&1+{1 \over {1 \over \sqrt{2}-1}}&=&1+{1 \over {\sqrt{2}+1 \over (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}}&=&1+{1 \over {\sqrt{2}+1 \over 2-1}}&=&1+{1 \over 2+(\sqrt{2}-1)}...(ㄱ)
    \\&=&1+{1 \over 2+ {1 \over {1 \over \sqrt{2}-1}}}&=&1+{1 \over 2+ {1 \over {\sqrt{2}+1 \over (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}}}&=&1+{1 \over 2+ {1 \over \sqrt{2}+1}}...(ㄴ)
    \\&=&1+{1 \over 2+{1 \over 2+(\sqrt{2}-1)}}...(ㄷ) \end{matrix}$$


    이는

    $$\sqrt{2}=1+{1 \over {2 + \over {1 \over {2 + {1 \over 2+…}}}}}=[1; 2,2,2,...]=[1; \dot{2}]$$

    로도 표현이 가능하다.


    $\sqrt{2}$의 convergent(ㄱ, ㄴ, ㄷ처럼 표시된 부분)는 다음의 표와 그림처럼 나타난다.

    $$\begin{array}{c|c c c c c c c c c c}
    n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
    c_n & {1 \over 1} & {3 \over 2} & {7 \over 5} & {17 \over 12} & {41 \over 29} & {99 \over 70} & {239 \over 169} & {577 \over 408} & {1393 \over 985} & {3363 \over 2378} \end{array}$$

    $\sqrt{2}$에 한없이 접근하는 모습[from wikipedia]


    - 무리수의 구성.

    무리수는 다항 방정식의 근이 될 수 있는 '대수적 무리수'와 '초월수'로 나눌 수 있다.

    대수적 무리수의 대표적인 예는 $\sqrt{2}$이며, 초월수의 대표적인 예는 $\pi$이다.


    무리수에 대해 알았으니, 실수의 기수에 대해 알아봅시다.

    2.5 실수와 도형.

    2.5.1 실수와의 대응.

    무한소수의 형태로 $0$과 $1$사이의 모든 소수를 번호를 매겨서 나열해보겠다.


    $$r_1=0.\colorbox{Yellow}{$a_{11}$}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}a_{16}... \\
    r_2=0.a_{21}\colorbox{Yellow}{$a_{22}$}a_{23}a_{24}a_{25}a_{26}... \\
    r_3=0.a_{31}a_{32}\colorbox{Yellow}{$a_{33}$}a_{34}a_{35}a_{36}... \\
    r_4=0.a_{41}a_{42}a_{43}\colorbox{Yellow}{$a_{44}$}a_{45}a_{46}... \\
    ... \\
    $$


    이제 새로운 소수를 생각해보자.

    $$0.b_1b_2b_3b_4b_5b_6...$$

    그런데 $b_n$을 만들때 $b_1$에서는 $a_{11}$, $b_2$에선 $a_{22}$, $b_3$에선 $a_{33}$..와 같이 대각선에 있는 수를 제외시키고 만든다면 수없이 많은 무한소수를 만들 수 있다.


    $0$에서 $1$사이의 모든 소수를 나열했다는 '가정이 틀렸다'는 것이다.


    그래서 실수는 '셀 수 없는' 집합이다라는 것을 알 수 있다.

    자연수의 기수를 $\aleph_0$로 나타냈던 것처럼 실수의 기수는 $C$로 나타내며 연속체라고 부른다.


    우리가 사용한 증명은 제외시키는 수가 대각선으로 있기 때문에 '대각선 증명'이라 불린다.


    2.5.2 선분, 직선, 원

    선분, 직선, 원의 기수에 대해 생각해봅시다.


    일단 선분과 선분의 관계는 삼각형을 그림으로서 일대일 대응이 가능하다고 하였다.

    그럼 선분과 직선은?


    직선은 길이가 무한하고 가정하기 때문에 삼각형의 모양으론 일대일 대응이 불가능하다.


    그럼 원과 선분의 관계를 생각해보자.

    수직선 상으로 내리면 일대일 대응이 가능하다!!


    원과 선분 AB의 관계.


    직선과 원도 생각해보자.

    원의 중심으로부터 방사형으로 뻗어나가게 하면 직선과 일대일 대응이 가능하다!!

    원과 직선 CD의 관계.


    원과 선분과 대등하고, 원과 직선이 대등하므로 선분과 직선 또한 대등하다.


    실수가 수직선의 형태와 같다고 했죠?

    수직선은 선분과 대등하므로, 아까 $0~1$까지에서 나온 실수의 성질은 실수 전체의 성질과 동일하다.


    사실 $(0,1)$과 실수 전체를 대응시키는 함수를 찾으면 되는 건데..

    삼각함수 중 $tan(\pi \times (x+{1 \over 2}))$를 하면 0과 1 극한값이 각각 $-\infty, +\infty$값이 나오므로 간단하긴 하다.

    오랜만에 써보는 매쓰랩 코드..(호환이 되는 Octave를 이용해서 그렸다.)

    x=0+0.01:0.01:1-0.01;
    y=pi*(x+0.5);
    plot(x,tan(y)), grid on;
    

    위 코드를 사용하면 그래프를 그려볼 수 있다.


    2.5.3 차원.

    차원은 공간 내에 있는 점 등의 위치를 나타내기 위해 필요한 축의 개수를 말한다.


    차원과 축[from Wikipedia]


    1차원(직선) 위의 점은 1개, 2차원(평면) 위의 점은 2개, 공간(3차원) 위의 점은 3개처럼.


    차원에 따라 대응을 시킬 수 있는가?

    0과 1차원은 원의 중심(0차원)에서 직선(1차원)으로 뻗어나가는 식으로 대응시키면 된다.


    그럼 다른 차원들은?

    1차원을 기준으로 해보자.

    2차원($a_n,b_n$)에서 1차원은 $a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3 a_4 b_4...$로 대응시키면 된다.


    이제 2차원의 방식을 3차원, 4차원으로 똑같이 확장하면 된다.

    3차원: $a_1 b_1 c_1 a_2 b_2 c_2 a_3 b_3 c_3 a_4 b_4 c_4...$

    4차원: $a_1 b_1 c_1 d_1 a_2 b_2 c_2 d_2 a_3 b_3 c_3 d_3 a_4 b_4 c_4 d_4...$

    $...$


    정리하자면,

    어떤 차원의 공간이든 연속체와 점 갯수가 같다.


    2.5.4 멱집합.

    - 멱집합의 기수

    멱집합의 기수는 원래 집합의 원소가 원소로 존재하는가 하지 않는가로 생각할 수 있다.

    위 멱집합에서는 1이 존재하는가 하지 않는가, 2가 존재하는가 하지 않는가, 3이 존재하는가 하지 않는가로 나뉘어 $2^3=8$개이다.

    이해가 가지 않는다면 데데킨트 절단 때처럼 ($T,F$로 나누어 표로 작성해보자)


    멱집합의 기수를 임의의 집합 $S$를 사용하여 일반화하면

    $$|\mathcal{P(S)}|=2^{|S|} =2^{\aleph_0}$$

    가 된다.


    마지막에 $\aleph_0$를 사용한 이유는 $|S|$는 임의의 집합 $S$의 기수(원소 갯수)이므로 0이나 자연수의 기수($\aleph_0$)이기 때문이다.


    굳이 무한집합에서도 어떻게 성립되는가를 알기 위해 대응이 되는지 살펴보자.

    집합 $S$에 대해 $\mathcal{P}(S)$와 일대일 대응시키는 것이 목표.


    일대일 대응시키는 함수 $f$가 있을 때($f:S \to \mathcal{P}(S)$)

    집합 $\mathcal{P}(S)$의 부분집합 $X$를($X \subset \mathcal{P}(S)$)

    $$X=\{s \in S |  s \notin f(s)\}$$$S$의 원소 $s$가 포함되지 않는 경우라 하자.


    $X \in \mathcal{P}(S)$이므로(멱집합의 정의를 생각해보자) $X \subset S$인데, 어떤 $s$에 대해서도 $X$와 $f(s)$는 같을 수가 없다는 조건($X$의 정의)이 있어 모순이 된다.


    쉽게 설명해 집합 S의 임의의 원소 s가 있을 때,

    - $s \in X$일때.

    $s \notin f(s)$지만, 집합의 조건을 만족하기에 $f(s) = X$($\because X \subset \mathcal{P}(S)$)여서 $s \notin f(s)=X$이므로 $s \notin X$라 모순.

    - $s \notin X$일때.

    $f(s)=X$여서 $s \notin f(s)$지만, 집합의 조건에 따라 $X \in \mathcal{P}$여서 $s$는 $X$에 대응하는 원소($f(s)=X$)이므로 $s \in X$라 모순.


    s라는 원소는 반드시 둘 중 어느 한 쪽에만 들어가기 때문이다.

    따라서 이 대응은 절대 일대일 대응일 수 없다.


    위키백과에 나온 증명은 이진법의 원리 이용한 것이다.

    $2^{|S|}$는 기수의 거듭제곱이므로

    $$\{0,1\}^S=\{f\colon S\to \{0,1\}\}$$

    의 크기를 가지며

    $$\mathcal P(S)\longrightarrow\{0,1\}^S \\ X\longmapsto f(s)=\begin{cases}1&s\in X\\0&s\notin X\end{cases}$$0과 1로 대응이 된다.


    형태는 조금 달랐지만 멱집합의 기수는 항상 원래 집합보다 큼을 알 수 있다.

    $$|\mathcal{P(S)}| > |S|$$


    즉, $$\mathcal{P}(2^{\aleph_0})>\aleph_0$$


    - 실수와 멱집합.

    연속체의 기수 $C$와 $\aleph_0$의 관계를 생각해보자.


    우리가 사용하는 수들은 보통 10진법으로 사용하고 있다.

    그러나 2진법으로 읽는다면?


    10진법과 2진법 변환은 예전에 올렸던 글

    2017/10/06 - [수학] - 기수법(記數法, Numeral System)

    을 참고.


    2진법의 각자리는 $0$과 $1$로 이루어지기 때문에 $2^n$개의 가능성, 즉 $2^{\aleph_0}$란 기수를 가진다.

    $$C=2^{\aleph_0}$$


    2.5.5 연속체 가설(continuum hypothesis).

    초한기수로 수열을 만든다면 $\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \aleph_4, \aleph_5, ...$로 나타낼 수 있다.


    연속체 가설은 $\aleph_1=2^{\aleph_0}=C$ 그러니까 $\mathbb{N}$과 $\mathbb{R}$사이의 기수가 존재치 않다는 것이다.


    - 패러독스(역설).

    유명한 패러독스 중에 이발사 패러독스가 있다.

    자기 스스로 면도를 하지 않는 주민들의 면도를 이발사가 해준다. 단, 스스로 깎는 사람은 잘라주지 않는다.

    이발사는 자신의 수염을 어떻게 해야 하는가?

    여기에서 자신을 원소로 가지지 않는 집합을 $X$, 모든 집합을 $U$, 임의의 집합 $A$와 함께 표시하면 어딘가 익숙한

    $$X=\{A \in U | A \notin A\}$$이 만들어진다.


    이는 이미 멱집합의 기수에서 증명한 것으로, 모순이다.


    $R=\{x|x \notin x\}$이면 $R\in R \Longleftrightarrow R \notin R$라는 것이다.


    여기에서 필요한 것이 괴델의 불완전성 정리이다.


    무모순인 동시에 완전할 수 없다. 즉 어떤 체계가 무모순이라면, 그 체계에서는 참이면서도 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 이상 존재한다.

    어떤 이론의 무모순성을 증명하려면 그보다 더 강력한 이론이 필요하다.


    불완정성 정리는 힐베르트(형식주의), 프레게(논리주의)를 비롯한 수학계와 철학계에 빅엿을 선사한다.

    그리고 인지 과학, 컴퓨터 과학 등까지 수많은 영향을 끼쳤다.


    불완전성 원리가 영향을 끼친 것은 이 글에도 있다.

    '전체 집합' 또는 '모든 집합'이라는 것은 불가능 하므로, '임의의 집합'이라고 표현을 한다.


    - 연속체 가설과 불완정성 정리.

    연속체 가설은 계속 풀리지 않아 힐베르트가 20세기에 풀어야 할 문제 1번으로 제안했다.


    쿠르트 괴델은 기존 집합의 공리로는 연속체 가설을 반증할 수 없음을 증명했고(불완전성 원리), 폴 코헨은 기존 집합의 공리로는 연속체 가설을 증명할 수 없음을 증명했다.

    현재 연속체 가설에 대한 명확한 답은 알아도 상관없고, 몰라도 상관없는 상태.


    -끝.-


    참고. 위키백과[집합, 함수, 자연수, 수학적 귀납법, 차원, 공리, 제곱근 2, 연분수, 대각선 논법, 멱집합, 러셀의 역설, 괴델의 불완전성 정리 ], 네이버 지식백과[짝수vs자연수, 자연수vs정수, 자연수vs유리수, 자연수vs실수유리수에서 실수로의 확장 - 데데킨트의 방법, 괴델의 불완전성 정리],  Two New Sciences, Quora, 나무위키[자연수, 불완전성 정리], 제타위키[러셀의 역설, 이발사 역설 ] 집합의 크기(cardinality) ,



    1. 사실, '전체 집합'보단 '임의의 집합'이 옳은 표현이다. 이유는 뒤에서 설명한다. [본문으로]
    2. 사상(寫像)이라고도 함. 한자로 알 수 있듯, 물체를 복사하는 것처럼 형상을 보존하는 대응이다. [본문으로]

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