ABOUT ME

-

Today
-
Yesterday
-
Total
-
  • 기수법(記數法, Numeral System)
    수학 2017. 10. 6. 22:26

    1. 개요.

    기수법은 수를 시각적으로 표현하는 방법이다.

    記數法이란 한자처럼 숫자를 기록하는 방식, Numeral System처럼 수를 나타내는 체계라 말할 수 있다.


    기수법은 크게 3가지로 나눌수 있다.

    • 1에 대한 표기로 수를 표현하는 단항 기수법(Unary Numeral System)

    • 특정한 수들에 대한 표기를 가지는 명수법(命數法, Sign-Value Notation)

    • 숫자의 위치와 계수를 이용하여 수를 나타내는 위치값 기수법(Positional System)

    2. 단항 기수법(Unary Numeral System).

    단항 기수법은 단위 수를 수직선, 원, 또는 점 등의 기호를 반복하는 방식으로 숫자를 나타낸다.


    2.1 예시.

    2.1.1 바를정(正).

    一, 丁, 下, 止, 正의 형태로 완성하면서 숫자를 센다.


    2.1.2 빗금치기.

    ////에 ㅡ로 가로지르듯 빗금을 치는 방식이다.



    2.2 평가.

    '바를정 만들기'와 '빗금치기'를 보면 수를 모두자의 1가지 종류의 선으로 숫자들을 표현하는 것을 알 수 있다.


    특정 기호 1개로 표시를 한다는 것은 숫자를 잘 모르는 사람도 알아볼 수 있을 정도로 직관적이지만,

    숫자가 커질수록 읽기가 어려워지기 때문에 이나 으로 표시하여 5단위로 끊어읽도록 하는 등 한계를 극복하고자 했다. 그러나 겨우 100~1000단위정도만 되어도 숫자를 읽기가 매우 어려워진다.


    3. 명수법(Sign-Value Notation).

    명수법은 단위 수(1)을 나타내는 기호 하나만을 반복적으로 배열하여 숫자를 표현하는 단항 기수법의 단점을 보완하기 위해 특정한 수들에 대한 표기를 가지도록 생겨났다.


    3.1 예시.

    3.1.1 로마 숫자.

    로마 숫자(1~10):Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ
    로마 숫자에서도 기본 단위(1)는 'Ⅰ'를 배열하여 사용하지만(I, II, III...), 5, 10등 특정한 수들은 기호를 이용하여 표시한다. 


    기호

    1

    5

    10

    Ⅼ 

    50

    100

    500

    1,000

    로마숫자의 기호


    또한처럼 문자위에 줄을 그으면 1000배를 뜻한다.

    메모: <span style="text-decoration:overline;">V</span>로 표시하면 오버 라인이 가능함.


    - 사용법

    10진수 -> 로마숫자

    먼저 바꿀 수 있는 큰 수에 우선순위가 적용된다.

    이 규칙은 위의 단항 기수법에도 해당이 되서 이나 부터 바꾸어야 한다.


    2,345,678을 로마 숫자로 표시해보자면,



    ⅯⅯⅭⅭⅭⅩⅩⅩⅩⅤⅮⅭⅬⅩⅩⅧ정도가 되겠다.

    (원래 글자위의 바가 이어지게 사용하면 안되지만 따로 따로 때어쓰기가 힘들어 이어지게 표현되었다.)



    로마숫자 -> 10진수

    반대로 ⅯⅯⅭⅭⅭⅩⅩⅩⅩⅤⅮⅭⅬⅩⅩⅧ를 10진수로 바꾸어보자.

    명수법은 기호를 합산한다는 것을 생각하면서 해석하면 된다.

    1. 일단, 각 기호의 의미를 알아내고,

    ⅯⅯⅭⅭⅭⅩⅩⅩⅩⅤⅧ =

    $$2\barⅯ=2Ⅿ\times1,000=2000\times1,000=2,000,000\\
    3\barⅭ=3Ⅽ\times1,000=300\times1,000=300,000\\
    4\barⅩ=4Ⅹ\times1,000=40\times1,000=40,000\\
    \barⅤ=Ⅴ\times1,000=5,000\\ Ⅾ=500\\ Ⅽ=100\\ Ⅼ=50\\ 2Ⅹ=20\\ Ⅷ=8\\ $$
    2. 기호들에서 얻어낸 값들을 모두 더하면 $$ 2,000,000+300,000+40,000+5,000+500+100+50+20+8\\ =2,345,678$$
    3. 2,345,678이 나오게 된다.


    이제 로마숫자를 어떻게 사용했는지에 대하여 감이 잡혔을거라 생각한다.

    로마숫자를 보다 간단히 하기 위해 감산표기법이 개발되었다.


    감산표기법은 큰수 앞에 작은수를 놓으면 '큰수-작은수'로 해석하는 것인데,

    대표적인 예가 IV(5-1=4)이다. 그 전에는 IIII라고 표기했었다.

    이런 감산표기법은 Ⅳ(4), ⅩⅬ(40), ⅭⅮ(400)처럼  주로 4로 표기되는 단위에 쓰인다.

    아마 4부터는 한번에 읽기가 어렵고, 6으로 표시되는 기호와 대칭을 이루기 때문이 아닐까 싶다.


    2,345,678을 감산표기법을 적용해보면

    ⅯⅯⅭⅭⅭⅩⅬⅤⅮⅭⅬⅩⅩⅧ 라 할수 있다.


    3.1.2 이집트 숫자.

    이집트 숫자(1~10):  𓏺 𓏻 𓏼 𓏽 𓏾 𓏿𓐀 𓐁 𓐂 𓎆

    로마 숫자에서도 역시 기본단위는 '𓏺'를 사용하지만 특정한 수들은 기호를 이용하여 표시한다.


    기호

    𓏺

    1

    𓎆

    10

    𓍢

    100

    𓆼

    1,000

    𓂭

    10,000

    𓆐

    or

    𓆏

    100,000

    𓁨

    1,000,000

    or

    Higher

    이집트숫자의 기호


    이집트 숫자가 로마 숫자와 가장 다른 점은 10진수를 기준으로 기호들이 만들어졌다는 것이다.(인간의 손가락 갯수가 10개라는 점에서 착안.)

    Unicode Table에서 찾아서 작성하였습니다.


    - 사용법

    이집트 숫자도 2,345,678을 만들어보자.



    𓁨𓁨𓆏𓆏𓆏
    𓂰𓇀

    𓍧𓎌

    𓐁



    반대로 이집트 숫자도 해석하면

    1. 역시 각 기호의 의미를 알아내고,

    $$2𓁨=2,000,000\\3𓆏=300,000\\4𓂭=40,000\\5𓆼=5,000\\6𓍢=600\\7𓎆=70\\8𓏺=8$$


    2. 기호들에서 얻어낸 값들을 모두 더하면 $$ 2,000,000+300,000+40,000+5,000+600+70+8\\ =2,345,678$$
    3. 2,345,678이 나오게 된다.

    이집트 숫자는 10진수를 기반으로 만들어져서 비교적 쉽게 해석할 수 있고, 병렬적인 형태로 표현한다고 한다.


    3.2 평가.

    단항 기수법에 비하면 써야되는 양이 줄어들었다.
    덧셈과 뺄셈에서는 기호를 더하고 빼기만 해서 편리하지만, 곱셈과 나눗셈에서는 기호를 풀어서 해석해야 되므로 상당히 어렵다.
    그리고 큰수일 경우 또 새로운 기호를 만들어야 한다는 한계 또한 존재한다.

    4. 위치 기수법(Positional System).

    명수법이 개선되어 위치 기수법으로 발전하였다.
    단항 기수법이나 명수법은 오직 기호만을 이용해 숫자를 표시했다면 위치 기수법은 기호와 기호의 위치를 이용하여 표시한다. 이때 크기가 없는 자릿수가 존재하게 되는데 이런 단점을 보완하는 것이 바로 '$0$'!!

    0이 중요한 수학적 발견이라는 것에는 이유가 있다.

    기수법의 정의를 일반화하면
    $$\text{a: 계수(Coefficient), x: 기수(Exponent)}\\
    z=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$
    라 할 수 있다.

    $a_n$은 계수의 위치와 값을 의미하고, $x_n$은 각 숫자의 가중치(자릿수)이다.
    그리고 등급화된 기수$x$에 따라 $x$진법이라 불린다.

    가중치에 따라 숫자를 판단하는 기에 1이상인 숫자를 표현할때나 1보다 작은 소수를 표현할 때나 따로 기호를 만들 필요가 없이 양의 멱수와 음의 멱수로 표현 할 수 있다는 것이 최대의 장점이라 할 수 있다.

    *멱수는 거듭제곱의 된 수를 의미합니다.
    양의 멱수는 기수가 양수이고, 음의 멱수는 기수가 음수라 할 수 있겠습니다.

    4.1 예시.

    4.1.1 10진법(Decimal Number)

    오늘날 우리가 흔히 쓰는 것으로서, 계수는 0~9까지의 숫자를 이용하고 기수는 $10^{n-1}$으로 표현한다.
    기수의 기준이 10이므로 Base-10 System이라고 부르기도 한다.

    - 사용법

    2,345,678.901을

    1. 자릿수에 따라 구분해보면

    $$2\times10^6=2,000,000\\3\times10^5=500,000\\4\times10^4=40,000\\5\times10^3=5,000\\6\times10^2=600\\7\times10^1=70\\8\times10^0=8\\
    9\times10^{-1}=0.9\\0\times10^{-2}=0.00\\1\times10^{-3}=0.003$$

    2. 자릿수마다 얻어낸 값들을 모두 더하면 $$ 2,000,000+300,000+40,000+5,000+600+70+8+0.9+0.00+0.001\\ =2,345,678.901$$3. 2,345,678.901이 나오게 된다.

    이 수에서 가장 큰 자릿수는 MSD(Most Significant Digit)이라고 부르고, 자릿수가 가장 작은 수는 LSD(Least Significant Digit)이라고 부른다.

    4.1.2 2진법(Binary Number)

    계수는 0과 1만 존재한다. 기수는 $2^{n-1}$으로 표현한다.

    - 사용법
    10진수 -> 2진수
    여기 예제에서는 2,345.625를 2진법으로 바꾸는 것을 보여줄 것이다.
    명수법에서는 높은 자리의 기호들을 사용하기 위해 큰 수를 사용했지만, 위치 기수법에서는 이러한 행위가 사실상 의미가 없다고 생각하기 때문.

    1. 양의 멱수(양수)와 음의 멱수(음수)를 나누어 구분한다.
    $$2,345.625\\=2,345+0.625$$

    2. 양수 구하기
    양의 멱수를 2로 나누면 몫과 나머지가 나온다.
    몫은 1자리가 줄어든 수이고, 나머지는 현재 자리의 수를 표시하는 것이다.
    몫이 0이 될 때까지(모든 자릿수를 표시할 때까지) 나누는 과정을 반복하고 나머지들을 오른쪽에서 왼쪽(작은 수에서 큰 수)순으로 배열을 하면 가장 작은 나머지부터 된다.

    이런 방법을 반복 2분법(Repeated Division-by-2 Method)라고 부른다.


    3. 음수 구하기



    --이하 작성중
    2,345,678.625을 2진법으로 표현하면 ‭1000111100101011001110‬(2)이다.

    4.2 평가

    단항 기수법이나 명수법에 비해 발전된 형태로서 작은 수(10~100단위)에서는 직관적이지 않지만 큰수를 다루거나 복잡한 계산을 할때 유리하다.
    그래서 대수학의 발전에 영향을 끼쳤다고 할 수 있다.

    출처. 위키피디아(기수법, 로마 숫자, 이집트 숫자), 디지털 논리회로(김종현, 생능출판)

    P.S.

    유니코드에서 찾기가 어려웠다. ㅜㅜ

    이 글을 보시는 분들은 제 표에 있는 문자를 복사하여 유니코드 테이블에서 Ctrl+F로 찾으면 쉽게 찾을 수 있습니다. :)


    댓글 0

Designed by black7375.