집합(위상)과 극한에 대하여[일부 내용 펌].

* 타 블로그의 펌 내용이 있기 때문에 저작권 문제가 생길 시 언제든 글을 비공개나 삭제 및 수정할 수 있습니다.

극한의 정의에 극한 점을 알기 위해선 위상 수학에 나오는 고립점에 대한 이해가 필요하기 때문에 선행합니다.

1. [펌] 집합과 위상(Set and Topology).

' 개집합, 폐집합, 도집합과 고립점... 그리고 전혀 상관없는 칸토어 집합|작성자 곰그지 ' 이라는 글을 깔끔하도록 일부 고쳐 쓴 내용입니다.

펌 허락 받았습니다. 헤헤.

허락해주신 곰그지님께 감사인사를 먼저 드립니다.

집합 내용이 이해가 안된다면

2018/07/22 - [수학] - 무한, 집합, 그리고 수에 대해서.

참고.

또한 개구간, 폐구간 등 구간을 나타내는데 사용한 $($와 $)$는 $<$, $[$와 $]$는 $\leq$의 의미인건 아시죠?

모르면 구간 참고.

1.1 위상(Topology).

위상은 일단 원소자체가 집합입니다.

그래서 집합론을 조금이라도 공부해놓으면 도움이 되죠.

그렇기 때문에 전체 집합에 포함되는 부분집합들을 가지고 연산을 해볼까 합니다.

집합의 연산이기 때문에 주 연산은 "합집합, 교집합"입니다.

예를 들어, 전체집합은 $X=\{1,2,3,4,5\}$라 두고, 전체집합의 부분집합 $A=\{1\}\; B=\{2,3\}\; C=\{1,2,3\}$ 인 부분집합이 있다고 칩시다.

이 때 집합족 $\mathcal{T}=\{A,B,C\}$를 위상이라 부르고 싶습니다.

우리가 대수에서 얼핏 배웠던 그럴싸한 이야기. 일단 '연산에 닫혀있다'라는 이야기를 해봅시다.

1. 위상의 원소들의 합집합은 위상의 원소여야해.

2. 위상의 원소들의 교집합은 위상의 원소여야해.

$A,B,C$ 같은 경우에 아무리 교집합, 합집합을 해도 결과는

$A,B,C,\emptyset$. 이 네개 중 하나이죠.

공집합은 $\mathcal{T}$의 원소가 아니자나요!!! 그래서 공집합($\emptyset$)을 추가 시킵니다.

그리고 이왕이면 여집합을 생각하기 때문에, 전체 집합 $X$도 위상의 원소에 추가시킵니다.

그래서 위의 두가지 조건에 추가로

3. 위상의 원소에는 전체집합($X$)과 공집합($\emptyset$)은 당연히 들어갑니다.

이러한 규칙들을 약속한 집합족 $\mathcal{T}=\{A,B,C, \emptyset, X\}$를 '위상'이란 이름으로 부르게 됩니다.... 짝짝짝!!!!

위키피디아의 내용을 가지고 간단한 예를 보면 이해가 더 잘됩니다.

앞서 정의한 집합 $C$를 가지고 어떤 것이 위상을 이루고, 어떤 것이 위상을 이루지 않는지 확인해봅시다.

먼저 위상을 이루는 것.

• $\{\emptyset,\{1,2,3\}\}$
• $\{\emptyset,\{1,2,3\},\{1\}\}$
• $\{\emptyset,\{1,2,3\},\{1,2\},\{1\},\{2\}\}$
• $\{\emptyset,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\},\{2\}\}$
  

이번엔 위상을 이루지 않는것.

• $\{\emptyset,\{1,2,3\},\{2\},\{3\}\}$
  이유: $\{2\}$와 $\{3\}$의 합집합인 $\{2,3\}$이 없으므로 위상이 아니다.
  
• $\{\emptyset,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\}\}$
  이유: $\{1, 2\}$와 $\{2, 3\}$의 교집합인 $\{2\}$가 없으므로 위상이 아니다.
  

그림으로 보면 다음과 같습니다.

어느 정도 이해가 됐죠?

이제 엄근진하게 정리를 해봅시다.

집합 $X$와 멱집합($\mathcal{P}(X)$)라 할 때 위상($\mathcal{T}$)은 다음의 조건을 만족해야 하는 $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$다.

$$\emptyset,X \in \mathcal{T} \\
A \subseteq \mathcal{T} \Rightarrow \bigcup A \in \mathcal{T}\\
B,C\in\mathcal T \Rightarrow B\cap C \in\mathcal T $$

설명.

1. $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$의 부분 집합이니 공집합($\emptyset$)과 전체집합($X$)이 원소로 들어간다.

2. 위상 원소들의 합집합은 위상의 원소.

3. 위상 원소들의 교집합은 위상의 원소.
   

* $A$은 $\mathcal{T}$의 부분집합이며 $B,C$는 $\mathcal{T}$의 원소이다.

여기서 주의할 점은 위상의 합집합은 무한개를 해도 위상의 원소지만(2번), 교집합은 유한 교집합의 원소만 위상의 원소이다.(3번)

간단하게 생각해서 $X=\{(a,b) | a,b \in \mathbb{R}\}$, 그러니까 실수인 $a,b$의 $(a,b)$(개구간)을 집합 $X$라 할 때

합집합을 해보면 항상 개구간만 나옵니다.

하지만 $(-{1 \over n}, {1 \over n})$을 무한히 교집합하면 $\{0\}$이라는 한점 집합이 나옵니다.
우리는 열린 구간을 위상으로 정의하고 싶은데 점들이 돌아다녀요.
그러다 보면 $\{0\} \cup (0,1) = [0,1)$ 이런 구간들이 만들어지므로 빼버리는 것이다.

다시말해 3번은 $$A_{\alpha}\in\mathcal{T}\left(\alpha\in\left\{1,2,3,...,m\right\}\right) \Rightarrow {\displaystyle \bigcap_{\alpha=1}^{m}A_{\alpha}\in\mathcal{T}}$$라는 것

자 그렇게 해서 만들어진 양끝을 포함하지 않는 집합(개구간)들에 공집합과 전체집합을 정의해주면 위상이 잘 정의가 됩니다.

위상공간 $(X, \mathcal{T})$는 위상을 갖춘 집합이다.

1.2 개집합과 폐집합(Open, Closed set).

개집합의 정의 정말 쉽습니다!!!.
딱 하나만 기억하세요. 위상의 원소인가????

개집합의 정의는 주어진 위상에 포함되는 원소이다! 라는 것만 기억하면 된다.
위상의 원소의 이름이 개집합이라고 기억해도 됩니다.
 
아까 말했던 실수에서의 보통위상에서 다음이 개집합인지 따져봅시다.
$(0,1)$: 당연히 $U$의 원소죠. 개집합입니다
$[0,1)$: $U$의 원소가 아니죠. 개집합이 아닙니다.
$(-\infty , 4)$: $(-n,4)$ 라는 녀석을 무한 합집합을 하면 만들 수 있습니다. 위상의 원소입니다. 즉, 개집합!

그럼 이번에는 폐집합을 정의해봅니다.
폐집합은 개집합의 여집합으로 기억하면 좋습니다.

예를 들어보죠.
$[0,4]$는 폐집합일까요?
$(-\infty , 0)$은 개집합입니다. 그리고 $(4, \infty)$도 개집합입니다.
두 개를 합집합 해도 개집합입니다.

이 개집합을 전체에서 빼보죠. $$\mathbb{R} - ((-\infty , 0) \cup (4,\infty)) = [0,4]$$
$[0,4]$는 폐집합이란 것을 알 수 있습니다.

개집합은 스스로의 경계를 전혀 포함하지 않는 위상 공간의 부분 집합이며, 폐집합은 스스로의 경계를 모두 포함하는 위상 공간의 부분 집합이다.

전체집합에서 개집합을 빼면 폐집합이 된다. 즉, 여집합이라고 생각해도 된다.

그런데 특이한 것은 개집합과 폐집합은 반대되는 개념이 아니며, 공존할 수 있다는 것이다.

예를 들어 $(0,1],[0,1)$가 있으며 개폐집합이라 한다.

공집합은 위상의 원소입니다. 그럼 공집합의 여집합은? (전체집합)
전체집합은 위상의 원소이죠. 그럼 전체집합의 여집합은? (공집합)

그래서 전체집합과 공집합은 개집합이면서도 폐집합이 됩니다.

또한 우리 위상의 원소는 무한합, 유한교가 가능하다라고 했습니다.

(무한합)의 여집합을 취하면 드모르간의 법칙 덕분에 합집합이 교집합으로 바뀝니다.

따라서 폐집합에서는 무한교가, 유한합만 가능합니다. 

1.3 위상 공간 기본(Basics of Topology Space).

자 그럼 개집합과 폐집합의 관계를 봅시다.
$A = (0,1)$이라는 개집합이 있으면 $[0,1]$ 이라는 녀석은 저 개집합을 덮는 최소의 폐집합입니다.

이제 폐포(Closure)라는 녀석을 정의합니다.
역시 $X$를 집합, $T$를 위상공간($(X, \mathcal{T})$), $A \subset X$일 때,(앞으로도 별 말이 없으면 이와 같음.)
$$\operatorname{Cl}(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\Longleftrightarrow} \bigcap \{K \supseteq A: K \text{ is closed in } T\}$$

설명.

폐포는 개집합을 포함하는 최소의 폐집합입니다.

$\operatorname{cl}(A), \operatorname{Cl}(A), \overline{A}, A^-$로 표현합니다.
$(0,1)$을 포함하는 폐집합은 무한히 많겠죠. 하지만 $[0,1]$이 제일 작습니다.
그럼 이제 0,1이라는 점에 초점을 맞춰보죠.

우리가 새롭게 정의할 것은 내부(Interior)와 내점(Interior Point)입니다.
집합이 개집합인가를 생각할 때 중요합니다.

폐포와 조건이 같을 때, 내부는

$$\operatorname{Int}(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\Longleftrightarrow}  \bigcup \{{K \in \mathcal{T}: K \subseteq A}\} $$

설명.

집합 $A$가 있는데 그 안에 $a$라는 점이 있어요. $a$를 포함하는 개집합이 $A$에 들어갈 수 있을때 $a$를 내점이라고 부르겠습니다.

역시 내점은 내부란 집합을 이루는 원소이고, 내부는 $\operatorname{Int}(A), A^\circ$처럼 표현 할 수 있습니다.

어렵나요? 예를 들어보죠.
$(0,1)$에서 ${1 \over 2}$는 내점입니다.
$({1 \over 4}, {3 \over 4})$라는 개집합이 존재해서  ${1 \over 2} < ({1 \over 4}, {3 \over 4}) < (0,1)$
이런 포함관계를 만족하잖아요. 이런 관계를 만족하는 개집합을 찾아줄 수 있으면 그 점을 내점이라고 부를거에요.

$(0,1)$ 안에 들어있는 어떤 점을 마음속에서 생각해봅니다.
생각하셨나요. 그 점을 $a$라고 했을 때

$${1 \over 2} \times a < a \\
a < {(1+a) \over 2}$$ 는 항상 성립하고
어떤 점을 여러분이 떠올렸더라도 내점이 됩니다.

그래서 개집합을 이렇게 정의도 합니다.
주어진 집합에 속하는 모든 점이 내점이면 그 집합은 개집합이다.
$\operatorname{Int}(A)$는 내점들의 모임이므로 항상 개집합입니다.

자 그럼 이제 $0, 1$을 다시 생각해보죠.
일단 $0$과 $1$은 $(0,1)$에 포함은 되지 않습니다.
하지만 $0$이나 $1$을 포함하는 개집합은 반드시 $(0,1)$과 교집합이 존재합니다.
이렇게 교집합이 생기는 점을 경계점이라고 이름 붙이고.... 이러한 점들의 집합을
집합$A$의 경계, $\operatorname{Bd}(A)$라고 쓰도록 하죠.
$$\operatorname{Bd}(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\Longleftrightarrow} \operatorname{Cl}(A) - \operatorname{Int}(A)$$경계는 $폐포 - 내부$(차집합)의 관계를 갖습니다.

$\operatorname{b}(A), \operatorname{Bd}(A), \operatorname{fr}(A), A^n$라고 표현하기도 한다.

그리고 $(0,1)$에서 $3$을 생각해봅시다. $3$을 덮는 개집합중에서 $(2,4)$는 $(0,1)$과 교집합이 없습니다. 이처럼 $A$라는 집합 밖에서의 내점들의 집합을 외부라고 이름 붙이죠.
외부는 $(\operatorname{Cl}A)^c$ 또는 $\operatorname{Int}(A^c)$[A의 폐포에 대한 여집합 또는 A여집합의 내부]라 생각할 수 있습니다.
기호로는 $\operatorname{Ext}(A)$ 또는 $A^e$라고 씁니다.

그럼 전체 집합은 다음과 같이 구분됩니다.
$$전체집합 = \operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Bd}(A) \cup \operatorname{Ext}(A)$$

$A$가 개집합이든, 폐집합이든, 개집합도 폐집합도 아니든.... 위의 한줄은 성립합니다.

전체집합 $X$에 어떤 부분집합 $A$가 있습니다.

그럼 이 집합으로 만들 수 있는 개집합입니다. 

경계는 전체집합에서 내부와 외부를 빼서 찾아줄 수 있습니다.
경계는 내부와 외부의 여집합이므로 폐집합이라는 것을 알 수 있습니다.

(추가 : $\operatorname{Ext}(A)$는 하얀색이라 표시가 잘 안되었어요.. 주의하세요 ㅎ)

$A$가 어디까지인지 잘 참고 해주세요....

일반적으로 아무 집합이나 주어졌을 때 이야기 할 수 있는 것은
$\operatorname{Int}(A) < A$가 항상 성립합니다.

경계점을 포함한 $\operatorname{Int}(A) + \operatorname{Bd}(A)$를 더해보면..... 그 여집합은 외부가 되기 때문에
둘의 합은 폐집합이 됩니다.
그리고 이 경계를 포함하는 폐집합이 결국 $A$를 포함하는 가장 작은 폐집합(폐포)이 됩니다.

그래서 폐포를 다음과 같이 쓰기도 합니다.
$$\operatorname{Cl}(A) = \operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Bd}(A)$$

그럼 다음과 같은 그림의 포함관계가 되겠네요.

이제 본격적인 오늘의 주제를 도입해보죠.

1.4 도집합이란?(derived set).

우리가 대충이나마 내부와 외부, 경계, 그리고 내부를 정의했습니다.

이번에 정의할 개념은 집적점(accumulation point)의 개념이죠.
경계를 찾는 다른 방법이라고 기억해두면 좋아요.
본격적인 내용이니까 수식 한번 써볼까요

집적점 정의.
점 $x$이 $x \in T$일 때,
$$x \in \operatorname{Cl}(A - \{x\})$$그러니까 $U \subseteq  X$일 때 $(U - \{x\}) \cap A \neq \emptyset$관계가 성립하면 $x$를 $A$의 집적점이라고 한다.

이런 집적점들의 집합을 도집합이라고 이름 붙입니다. (기호로는 $A'$ 많이 씁니다)

$x$를 포함하는 개집합과 $A$의 교집합이 공집합이 아니다. 라는 결론이 나오죠.
교집합이 공집합이 아니다라는 표현 어디서 봤죠? 바로 경계입니다.

만약 $x$가 $A$ 안에 없으면 $x$를 덮는 개집합이 $A$와 교집합이 생기기 때문에 $x$는 경계에 속하죠. $X$에서 $x$를 빼던 말던 상관이 없으니까요.

그렇기 때문에 경계의 점 중 $A$에 포함되지 않는 점들은 도집합에 포함됩니다.
즉 도집합은 $A$에 포함되지 않는 경계를 구하는 방법이라고 생각해보면 좋겠네요.

참고.

사실 도집합은 모든 개집합의 존재 여부때문에 수열의 수렴성을 보장해주는 그런 점들의 모임이라는 좋은 의의를 가지기도 하지만.... 이야기 흐름상 위와 같이 생각해보고 넘어가겠습니다.

자, 그럼 의문이 하나 듭니다. 내점의 경우에는요? 도집합과 무슨 관계가 있을까요??
내점의 경우에도 일반적으로 생각하면 도집합에 포함될 것 같습니다. 그런데 반례도 생겨요.
어떤 경우냐면 바로 한 점이 개집합인 경우는? 내점은 되지만 도집합에 포함되지 않습니다.
그래서 내점 중에서도 도집합에 포함되는 녀석이 있을 수 있다 라는 점을 짚고 넘어가죠.

그러면 내점이 아니면 다 도집합에 포함 되냐? 그것도 아닙니다.
예를 들어 우리가 $A$라는 집합을 $\{1\} \cup (2,3)$이라는 집합으로 줬습니다.
$1$은 $A$의 점이지만 내점이 아니죠. 그래서 1은 경계에 포함됩니다.
하지만 도집합에는 포함되지 않죠. 그러나 우리는 도집합을 $A$에 속하지 않는 경계를 찾는 법이라고 했으니까 특별히 정의에 문제가 되지 않습니다.
도집합으로 모든 경계를 구할 수 없어요. 그래서 무슨 의미가 있겠냐? 라는 의문이 든다면... 이런 이야기는 가능합니다.
우리가 정의했던 폐포를 다음과 같이 표현해도 문제 없습니다.

$$\operatorname{Cl}(A) = \operatorname{Int}(A) \cup \operatorname{Bd}(A)=A \cup A'$$
왜냐면 $A$에 속하지 않는 경계점은 모두 도집합에 들어가니까요.

자 위의 내용을 바탕으로 그림을 한 번 그려보려 합니다. 과연 도집합의 모양은 어떤 모양일까!!!!!
두구두구.....

아까 $A$에 왜 선이 가있을까? 라고 의문을 가졌던 분들이 있겠죠... 도집합 표현하려고 한 것입니다.

1. $A$의 점이 도집합에 포함될 수 있다.
   
2. 한점 개집합이 존재하는 경우, 내점이지만 도집합에 포함되지 않을 수 있다.
3. 내점이 아니면서 도집합에 포함되는 점이 있을 수 있다.

자 그럼 슬슬 오늘 이야기의 핵심이 나옵니다.
저 하얀 부분의 문제가 되는 점을 정의해줄 겁니다.
왠만한 책에서는 찾아보기 힘들어요 ㅋㅋㅋ
그래서 저는 위키신의 지혜를 빌리기로 결심합니다 ㅋㅋㅋ

1.5 고립점(Isolated Point)

"0" is an isolated point of A In topology, a branch of mathematics, a point x of a set S is called an isolated point of S, if there exists a neighborhood of x not containing other points of S.
(x의 근방이 S라는 집합의 다른 점을 포함하지 않으면..... 근방은 가장 작은 개집합으로 생각하세요)

In particular, in a Euclidean space (or in a metric space), x is an isolated point of S, if one can find an open ball around x which contains no other points of S.
(고립점에 대한 정의와 소개입니다. 위의 그림처럼 0처럼 동떨어져있으면 고립점이래요.)

A set which is made up only of isolated points is called a discrete set. Any discrete subset of Euclidean space is countable, since the isolation of each of its points (together with the fact the rationals are dense in the reals) means that it may be mapped 1-1 to a set of points with rational co-ordinates, of which there are only countably many. However, a set can be countable but not discrete, e.g. the rational numbers with the absolute difference metric. See also discrete space.
(유클리드 공간에서 고립점들의 집합은 가산이래요, 하지만 역은 성립하지 않는데요)

예) $S=\{0\} \cup \{1, {1 \over 2}, ..., {1 \over n}, ... \}$ S는 가산집합이지만 0은 고립점이 아닙니다. 수열의 극한이니까 0은 도집합에 쏙 들어가네요. 나머지 점은 고립점일지라도...

The number of isolated points is a topological invariant, i.e. if two topological spaces X and Y are homeomorphic, the number of isolated points in each is equal.
(고립점 갯수는 동형인 위상에서 같다는 군요)

여기까지 위키의 내용입니다.

고립점의 정의는 $x$를 포함하는 어떤 개집합 $X$에 대하여, $x$만 포함하면 되니까
$$\exists U \in \mathcal{T}:U \cap A = \{x\}$$또는$$(U-\{x\}) \cap A = \emptyset$$
이렇게 되겠네요.... 와!!! 아까 도집합과 반대되는 녀석인거 같아요....

(수정) 고립점에서는 '어떤'이 맞습니다~ 도집합에서는 '임의의(모든)'가 맞습니다
(추가) 고립점의 정의는 다음과 같습니다.
$A$의 점 $x$가 고립점이라고 하면, $x$를 포함하는 적당한(어떤) 근방 $U$에 대하여 $U \cap A=\{x\}$를 만족할때 $x$를 고립점이라고 합니다 

예를 들어 $\{x\}$ 가 개집합인 이산집합에서는 모든 점이 고립점입니다

위의 내용은 집적점과 비교한 내용이므로 $\{x\}$를 좌변으로 이항하면 위와 같은 식이 나올겁니다.
그런데 도집합과 가장 큰 차이는.... 도집합은 전체집합의 모든 점이 후보지만,
고립점은 $A$ 안에 포함되는 녀석만 후보라는 점이 차이가 있습니다.
그럼 아까 도집합에서 문제가 생겼던 것을 체크해보죠.

1. 내점인데 도집합에 속하지 않는다.
   내점이기 때문에 반드시 $x \in U \subseteq A$인 개집합이 존재합니다. 하지만 도집합에 속하지 않으므로 $(U-\{x\})\cap A = \emptyset$이죠. 그러니까 결론은 $U=\{x\}..... x$를 덮는 가장 작은 개집합은 한점 집합이라고 생각할 수 있겠죠. 그리고 이경우 고립점의 정의에서 벗어나지 않습니다.
   내점인데 도집합에 속하지 않으면 고립점입니다.
   
2. 내점이 아닌데 도집합에 속하지 않는다.
   아까 체크했던 $\{1\} \cup (2,3)$ 이라는 $A$ 집합에서 $1$이 문제였죠.
   $1$은 $A$의 점이지만 $1$을 덮은 작은 개집합 가져오면 $(U-\{x\}) \cap A = \emptyset$라고 말할 수 있겠네요.
   

자 그럼 이제 그림을 완성해봅시다.

와 그럼 다음과 같은 이야기를 할 수 있겠네요.
$$Cl(A)=A' \cup \operatorname{Iso}(A)$$
고립점의 영문 앞을 따와 고립점들의 집합을 $\operatorname{Iso}(A)$라고 썼습니다.($A^i$라고도 씀.)

이 내용이 유용한 것은 도집합과 고립점은 서로소라는 사실입니다.
A와 A의 도집합은 서로소가 아니라서 도집합의 모양을 추측해보기 힘들수도 있지만....
고립점을 통해 페포의 모양을 다르게 구할 수 있다는 겁니다... 그런 점에서 은근 유용할 수도 있죠...

하아.... 긴 여정이었습니다.

$$Cl(A)=A' \cup Iso(A)$$
단지 이 한문장을 소개하고 싶었는데 너무 멀리 돌아온 느낌이네요....

그럼 이 내용을 가지고 실제 적용을 해보겠습니다.

1) 이산위상에서의 도집합의 모양
자 이제 슬슬 눈치 챘습니까? 이산 위상이라는 녀석은 한점집합을 개집합으로 정의하죠.
아까 이야기 했던 것처럼 한점 집합이 개집합이면 그 녀석은 고립점이 됩니다.
따라서 어떤 집합이 주어져도 도집합은 언제나 공집합입니다.

2) 비이산 위상에서의 도집합의 모양.
비이산위상이라는 녀석은 위상의 원소가 {공집합, 전체집합} 뿐인 녀석입니다.
자 그럼 이제 $A$의 모양에 대해서 생각해보죠.

(1)$A$가 공집합 이면
=> 당연히 도집합도 공집합이죠. 교집합이 공집합이니까요

(2)$A$가 $1$점 집합이면
=> 이경우 $A$의 점은 고립점입니다. 한점이자나요 ㅋ
$A$의 폐포는 $A$를 덮은 가장 작은 폐집합.... $X$죠 ㅋㅋㅋ $\operatorname{Cl}(A)=X$가 됩니다.
그러니까 $A' = \operatorname{Cl}(A) - \operatorname{Iso}(A) = X-A$ 라는 이야기도 할 수 있죠

(3)$A$가 2점 이상의 집합이면,
=> 이경우 $A$의 점들은 고립점이 될 수 없습니다. 그리고 역시나 $\operatorname{Cl}(A)=X$ 입니다.
그러니까 고립점이 없자나! 라고 하면서 $A'=X$ 라고 이야기 할 수 있습니다.

(위의 문제는 왠만한 기본서에 집적점의 정의로 풀어놓은 것들이 있을겁니다~)

자 이제 고립점이 없는 집합 A에 대해서 생각해보죠.
그런 경우에는? $A' = \operatorname{Cl}(A)$ 라는 것이 성립합니다!!
즉 어떤 집합의 도집합과 폐포가 같을 때, 이러한 집합들을 멱집합(Power Set) 이라고 부릅니다.

퓨퓨 드디어 극한을 배우기 위한 준비가 끝났습니다.

극한을 배워봅시다.

2. 극한(Limit).

2.1 극한 정의.

코시(Cauchy)란 수학자에 따르면 극한은

When the values successively attributed to a particular variable approach indefinitely a fixed value so as to end by differing from it by as little as one wishes, this latter value is called the limit of all the others.

번역을 해보자면,

어떤 변수가 가질 수 있는 일련의 값들이 하나의 고정된 값으로 한없이 가까이 가서 우리가 원하는 만큼 그 차이를 줄일 수 있을 때, 그 고정값을 변수에 대한 극한이라고 한다.

극한[from Epsilon-Delta Definition of a Limit]

$$ \lim_{E\ni x \rightarrow c} f(x)=L \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\Longleftrightarrow} \forall\epsilon>0 \;\; \exists\delta>0 \;\; s.t.\forall x\in E: (0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon)$$

해설은 하겠지만 모르는 기호가 있다면 다음(리브레 위키)을 참고.

저 기호들에 대한 설명은 이산수학을 다루면서 따로 포스팅 할 예정.

간단 설명.

임의의 $\epsilon > 0$에 대하여, 어떤 $\delta > 0$이 존재하여, 임의의 $x \in E$에 대하여 $0<|x-c|<\delta$는 $|f(x)-L| < \epsilon)$를 함의한다.

즉, 임의의 오차 범위($\epsilon$)를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리($\delta$) 이내인 일이면, 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다.

아직 어렵나;; 좀 더 축약해 설명하면

오차 범위($\epsilon$)보다 작게 만들 수 있는 어떤 작은 거리($\delta$)가 존재해야 극한이다.

정의에 대한 자세한 설명은 위키피디아에서 잘 나와있다.

2.2 정의에 대한 설명.

2.2.1 $ \lim_{E\ni x \rightarrow c} f(x)=L$.

$\lim_{E\ni x \rightarrow c} f(x)=L$은 $x$를 $c$에 충분히 가깝게 하면(극한) 함수 $f(x)$가 $L$에 가까워지도록 만들 수 있다는 것을 의미한다.

실수 $\mathbb{R}$의 부분집합인 $E$일 때, [$E \subseteq \mathbb{R}$]

함수 $f$는 실수값 함수로서 집합 $E$에서 집합 $\mathbb{R}$로 사상(일어날 수 있는 결과)이다. [$f:E \to \mathbb{R}$]

* '$:$'는 such that(이러한, 다음과 같은)이나 so that(~하기 위해서)의 뜻.

* '$\to$'는 ~에서 ~로 의 뜻.

$f$는 $E$의 극한 점(집합의 점들이 모여드는 점)인 $c$($c \in E'$)에서 가지는 극한이다. [$\lim_{E\ni x \rightarrow c} f(x)$]

위에서 다루었던 집적점이 바로 극한점이고!!(요거 배우려고 먼길을 걸어옴..)

극한점은 이런 느낌.[from legein의 이글루]

마지막으로 극한값은 $L$. [$\lim_{E\ni x \rightarrow c} f(x)=L$]

$\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\Longleftrightarrow}$는 이 후는 정의를 나타낸다는 뜻.

이제 극한의 정의에 대해 본격적으로 알아봅시다.

2.2.2 $\forall\epsilon>0 \;\; \exists\delta>0$.

$\forall\epsilon>0$은 임의의(모든, $\forall$) 양의 실수 $\epsilon$이 그 뒤에 오는 조건을 예외 없이 만족시킨다는 뜻이다.

$\exists\delta>0$은 적어도 하나의(어떤) 양의 실수 $\delta$가 그 뒤에 오는 조건을 만족시킨다는 뜻이다.

2.2.3 $s.t.\forall x\in E$.

$s.t.$도 such that과 같은 뜻으로 조건의 추가를 의미한다.

$\forall x\in E$는 임의의 $x$가 $E$의 원소라는 뜻.

2.2.4 $0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$.

$0<|x-c|<\delta$는 독립 변수의 값 $x$가 일정 값 $a$와 거리 $\delta$ 이내이되, $a$와 같지 않다는 뜻이다.
$|f(x)-L| < \epsilon$는 함숫값 $f(x)$에 극한값 $L$을 뺀 값의 절댓값, 즉 오차가 $\epsilon$이내라는 뜻이다.
$A \Rightarrow B$는 A는 B를 함의한다 또는 앞의 조건의 만족이 뒤의 조건의 만족을 보장한다는 뜻이다.

2.2.5 정리.

위키백과 스냅샷에 정리가 잘 되어 있어 가지고 와 정리했다.

$\lim_{E\ni x \rightarrow c} f(x)=L$은 $x$를 $c$에 충분히 가깝게 하면 함수 $f(x)$가 $L$에 가까워지도록 만들 수 있다는 것을 의미한다. 이 때 $x$가 $c$와 같아지지 않아도 되며, 심지어 $f(c)$가 정의되지 않아도 상관없다.

"$x$를 $c$에 충분히 가깝게" 에서 $x$가 $c$에 가까운 정도는, $f(x)$ 를 $L$에 가까워지게 할 정도에 따라 다르며 함수 $f$와 실수 $c$에 따라 결정된다.

양수 $\epsilon$은 $f(x)$가 $L$에 가까운 정도를 나타낸다. $f(x)$와 $L$의 거리가 $\epsilon$ 이상이 되지 않는다는 의미.

양수 $\delta$는 $x$가 $c$에 가까운 정도를 나타낸다. 즉 $x$와 $c$사이의 거리가 $0$이 아닌 수 $\delta$보다 작을 경우, $f(x)$와 $L$사이의 거리도 $\epsilon$보다 작아진단 뜻이다.

따라서 $\delta$는 $\epsilon$에 따라 결정된다. 이러한 극한의 표현법은 $\epsilon$이 아무리 작더라도, 그에 따라 $\delta$이 충분히 작아질 수 있다는 것을 의미한다.

문자 $\epsilon$와 $\delta$는 각각 "오차" 와 "거리" 로 이해할 수 있다. 실제로 코시는 그의 연구에서 $\epsilon$를 "오차(error)" 의 약자로 사용했다. 이러한 관점에서 말하면, 오차 $\epsilon$는 거리 $\delta$를 감소시키고 싶은 만큼 작게 만들 수 있다. 이러한 정의는 하나 이상의 다변수 함수에서도 성립한다.

- 한줄 정리.

$0<|x-c|<\delta$를 만족하는 범위의 모든 $x$에 대해 $|f(x)-L|<\epsilon$가 성립한다.

2.3 응용.

암튼 공돌이는 응용을 중시하는 법!!

이 광활한 정의를 어떻게 써먹는지 서술해보고자 한다.

1차 방정식 형식과 2차 방정식 형태의 예를 보자.

우선 아래 나오는 식들은 모두 $\forall \epsilon > 0 \; \exists \delta > 0$를 가정한다.

이해하기 쉽게 표현된 짤을 보면 감이 잘올까 싶다.

2.3.1 1차 방정식.

$\lim_{x \rightarrow 1} 2x =2$ 그래프[from 극한 정의 (입실론-델타)]

우선 $$\lim_{x \rightarrow 3} 2x+1 = 7$$

을 살펴보자.

$ \lim_{E\ni x \rightarrow c} f(x)=L$와 비교할 시

$f(x)=2x+1$, $L=7$, $c=3$이란 것을 알 수 있다.

이제 정의 부분인 $\forall\epsilon>0 \;\; \exists\delta>0 \;\; s.t.\forall x\in E: (0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon)$와 비교해보자.

$0< |x-3| < \delta$일 때, $|(2x +1) - 7| < \epsilon$이 성립해야 한다.

이제 적절한 $\delta$값을 찾아봅시다.

$$\begin{matrix}|(2x + 1) -7| &=& |2x-6| \\ &=&  2|x-3| \end{matrix} \\ 2|x-3| < \epsilon \Rightarrow |x-3| < {\epsilon \over 2}\\ \therefore \delta = {\epsilon \over 2}$$

그럼 찾은 $\delta$값이 적절한가 알아보죠.

$\delta = {\epsilon \over 2}$일때, |$x-3|<{\epsilon \over 2}$ 인가.

$$\begin{matrix}2|x-3| < \epsilon & \Rightarrow & |2x-6| < \epsilon \\ |(2x +1) -7| < \epsilon & \Rightarrow & |f(x)-L| < \epsilon \end{matrix}\\ \therefore 참 \ _\square$$

조금만 생각해보면

$$ \forall a \in \mathbb{R}, \lim_{x \rightarrow a} bx = L$$

일때 $\delta = {\epsilon \over a}$라는 것도 알 수 있다.

2.3.2 2차 방정식.

$\lim_{x \rightarrow 1}x^2 = 1$ 그래프[from 극한 정의 (입실론-델타)]

이번엔 2차 방정식을 대상으로 알아보자.

$$\lim_{x \rightarrow 3} 4x^2 + 1= 37$$

1차때와 똑같이 $f(X)=4x^2 + 1$, $L = 37$, $c = 3$일 때, $0 < |x - 3| < \delta$, $|4x^2 - 36| < \epsilon$의 형태를 띈다는 것까진 쉽게 전개할 수 있다.

계속해봅시다.

$$\begin{matrix} |4x^2 - 36| &=& 4|x^2 - 9| \\ &=& 4|(x+3)(x-3)| \\ &=& 4|x+3||x-3|\end{matrix}\\ 4|x+3||x-3|< \epsilon \Rightarrow |x-3| <  {\epsilon \over 4|x+3|} \\ \therefore \delta = {\epsilon \over 4|x+3|}$$

라고 풀게 된다.

그런데 무언가 이상하지 않나요?

$x$의 값이 바뀌면 일정해야 할 $\delta$ 값이 바뀌어 버린다니..

무언가 이상하게 여길지 모르지만 $\delta$값이 존재하여 $\epsilon$과의 관계가 증명하는 것이 중요합니다.

오차 범위($\epsilon$)보다 작게 만들 수 있는 어떤 작은 거리($\delta$)가 존재해야 극한이다.

라고 언급했듯, $0<\epsilon$을 가지고 명제에 맞는 $\delta$를 '찾아 낼 수' 있다면 극한이고 아니라면 극한이 존재치 않는다는 것이다.

'찾아 내는 것'이 문제이므로 특정한 $\delta$값을 정하는 것은 문제가 되지 않습니다.

저는 '적절한' $\delta$ 값을 $1$보다 작다고 잡아보겠습니다.

그럼 전에 했던 것이 완전히 뻘짓이었냐, 이건 또 아닙니다.

적당한 비율을 찾아낼 수 있기 때문이죠.

$a|x-3|<\epsilon$ 그리고 $4|x+3|<a$에 맞는 변수 $a$가 존재하면,

$$4|x+3||x−3| < a|x-3| \land |x-3|<{\epsilon \over a} \\ 4|x+3||x−3| < a|x-3|<\epsilon \\|x-3|<{\epsilon \over a}  \rightarrow 4|x+3||x−3| < \epsilon\\ \therefore \delta = {\epsilon \over a} $$

아까 범위로 잡은 $\delta<1$을 이용해 $|x-3|<1$로 $4|x+3|<a$을 만들 때,

$$|x-3|<1 \\ 0<x-3<1 \\ 3<x<4 \\ 12<4x<16 \\ -28<24<4x+12<28 \\ -28<4(x+3)<28 \Rightarrow 4|x+3|<28 \\ \therefore a=28 \; \therefore \delta=\min({\epsilon \over 28}, 1)$$

범위가 올바른지 확인 해볼까요?

$\delta={\epsilon \over 28}$로 잡고

$$4|x+3|<28 \land |x-3|<{\epsilon \over 28} \\ 4|x+3||x-3|<28|x-3| \land 28|x-3|<\epsilon \\ 4|x+3||x-3|<28|x-3|<\epsilon \\ 4|x+3||x-3|<\epsilon \rightarrow |(4x^2 + 1)-37|<\epsilon \ _\square$$

휴. 증명까지 완료했습니다.

2.3.3 우극한과 좌극한.

우리가 흔히 생각하는 우극한($lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = L$), 좌극한(($lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = L$))은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

우극한의 정의. $$0<x-c<\delta \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$$

좌극한의 정의. $$-\delta<x-c<0 \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$$

-끝-

출처: 위키피디아[위상 공간(수학), 집적점,  수열의 극한, 함수의 극한, 엡실론-델타 논법, 과거 엡실론-델타 논법 ], 수열의 극한, 개집합, 폐집합, 도집합과 고립점... 그리고 전혀 상관없는 칸토어 집합, 위상수학이란 무엇일까? , ProofWiki[Definition:Closure (Topology) , Definition:Interior (Topology), Definition:Boundary (Topology), Definition:Exterior (Topology), Definition:Accumulation Point of Set, Definition:Isolated Point (Topology) ]